Približavanje beskonačnosti M. C. Eschera



„Pa ipak, može se dogoditi da jednoga dana neko oseti kako u njemu sazreva precizna i svesna želja, koja će ga naterati da se približi beskonačnosti na čist i dubok način, sl
užeći se sopstvenim umetničkim predstavama. To može da se dogodi nekome ko nema specifičnu spremu, ko nije mnogo izučavao radove prethodnih generacija, ko poput mnogih drugih plastičnih umetnika provodi svoje dane crtajući više ili manje fantastične slike.“

M. C. Escher – Približavanje beskonačnosti

M C Escher

O Escheru (Ešeru) je mnogo napisano, na netu ima dosta dobrih tekstova (izdvojio bih dva, tekst Milana Ćirkovića i tekst na blogu Nenada Švrakića). Ovaj genijalan grafičar koji je stvarao i radio tokom prve polovine 20. veka (tačnije zadnjih godina skoro ništa nije radio, jer samo preštampavao otiske ranijih radova za kojima je nastala pomama na Zapadu), se interesovao za probleme popločavanja, podelu ravni, beskonačnost, perspektivu…

Ono što je mene nateralo da pišem o ovome jeste detinjasto razmišljanje o beskonačnosti. Kao klinci bi se igrali toga ko zna najveći broj dok se neki mudronja ne bi javio i rekao beskonačno, a drugi bi rekao: „Moje beskonačno je veće od tvoje beskonačnosti dva puta“… Dečije igre, kao i posmatranje pločica po podu. Kao mali sam se pitao zašto moraju samo pravougaonicima da se popunjavaju prostori.

Međutim nisam znao za Eschera, kada sam naleteo na njegove radove bio sam oduševljen. Kakvi neverovatni grafici… Nedavno sam preveo jedan sjajan tekst o Hilbertovom hotelu matematičara Stevena Strogatza. Tekst je izašao u njegovoj kolumni u New York Times-u. Šteta što naše dnevne novine nisu otvorene za takve stvari…

Sada dok studiram, često kažemo da se nešto prostire u beskonačnost. Naravno mi ne možemo da shvatimo geometrijski a ni fizički smisao beskonačnosti (npr. beskonačna ravan, beskonačni pravolinijski provodnik itd.) služe samo da olakšaju shvatanje nečega, ali realno u fizičkom smislu sve naše teorije rade na konačnim dužinama i rastojanjima. Ali matematičarima to ne smeta, sa beskonačnošću odlično barataju, istina i kvantna fizika radi na beskonačnim Hilbertovim prostorima.

No da se vratimo i na Eschera, njega su zanimali nemogući objekti kao i popločavanja ravni. Na jednom skupu upoznaje oca i sina sa prezimenom Penrouz, jedan psiholog, drugi matematičar. Tada jedno vreme sarađuju na problemima nemogućih objekata. Treba spomenuti da Escher nije prvi koji je osmislio nemoguće objekte. To je švedski slikar Oskar Rutesvard (Oscar Reutersvärd).

Esher je tada već bio popularan, zapravo zadnjih 20 godina njegovog života je najmanje otišlo na rad, a najviše na preštampavanje starih grafika koje je radio. U jednom trenutku je digao ruke od toga, i od tada su oni dosta skuplji :))

Međutim, mlađeg Rodžera Penrouza je zainteresovao problem beskonačnog popločavanja ravni (sličan umetnički problem je mučio i Eschera). Međutim Penrouz se zapitao kako aperiodično popločati ravan, recimo sa trouglovima i kvadratima (iste veličine), relativno lako to možemo uraditi. Penrouz je uzeo skup (set) rombova različitih veličina i dobio je zanimljive rezultate. Kako bi to rekli matematičari: i to je matematika. Međutim ispostavilo se da je ova igrarija našla primenu u izučavanju kristala (čovek koji je dobio Nobela za hemiju ove godine je našao vezu sa kristalima i Penrouzovim popločavanjem). Kasnije su nađene fore sa drugim primerima kako da izmešate npr četvorouglove i petouglove i popločate kupatilo sa njima 🙂

Pravi šok je usledio kada se otkrilo isto takvo popločavanje na jednoj džamiji iz 15. veka u Uzbekistanu. Biće jedan post posvećen arapskoj kulturi i nauci. Ali to nije sve, slični primeri su pronađeni i u Africi na nekim kućama.

Ali da se vratimo Escheru, pravo pitanje je zašto ga matematičari i fizičari uzdižu u nebesa? Malo je ljudi koji mogu da geometrijski predoče sebi apstraktne matematičko-fizičke objekte i realnost. Zapravo većina se drži formalizma, a malo ljudi zapravo može da vidi šta je iza svega toga, neku veću sliku (nisam od takve sorte 😦 ).

Ovaj post o Escheru sam počeo da pišem još letos, a sad sam u međuvremenu i zaboravio šta sam sve hteo da pišem… No, zanimljivo je da mi kao ljudska bića živimo u prilično euklidskom svetu. Npr, od ranog detinjstva nas uče da je zbir svih uglova u trouglu 180 stepeni. Što nužno nije tačno u ne-euklidskoj geometriji! Zapravo u ne-euklidskoj geometriji (onoj koju koriste npr kosmolozi), možete imati dva ugla od po 90 stepeni. Evo trik pitanje, ako krenete 100 kilometara ka jugu, pa onda još 100 kilometara ka zapadu, pa onda 100 kilometara na sever, gde ćete stići? Naša intuicija nam govori da ćemo praviti putanju nešto nalik kvadratu (nedostaje četvrta stranica), i da će naša konačna tačka biti 100 km desno od početne. Ipak, to nije tačno, vratićemo se u tačku iz koje smo pošli!

Gaus (matematičar i fizičar) je bio zapanjen ovim rezultatom. Pokušao je da realizuje prost eksperiment. Kontao je da sve što mu treba jeste jedan veliki trougao, izabrao je tri planinska vrha koja na karti obrazuju temena jednakostraničnog trougla. Puštao bi svetlosne zrake ka svakom od vrhova i merio rastojanja. Kako god, ispostavilo se da je dobio rezultat približan 180 stepeni.

Međutim fizika 20. veka (tačnije Opšta teorija relativnosti) je željno prigrabila ne-euklidsku geometriju.

No da ne zalutamo, hteo sam i da kažem da ovaj post ima veze i sa nesavršenošću naših čula. Percipiramo euklidski svet, i zbunjuju nas nemogući objekti. Escher je imao svoj način da se vizuelno izbori sa stvarima, oko kojih ne lupamo glavu previše (osim ako ne studirate matematiku ili fiziku, ili možda filozofiju).

I ovaj uvod iz Escherovog predavanja me je podosta podsetio na mladog Ajnštajna, a bogami i na tvorce kvantne. I o svemu tome u nekim narednim postovima, kad budem u glavi imao celinu koju hoću da vam ispričam. Za kraj pogledajte i neke animirane radove jednog sjajnog mađarskog crtača Isztvana Orosza.

Advertisements

2 thoughts on “Približavanje beskonačnosti M. C. Eschera

  1. Nisam znao da se Penrouse bavio geometrijom kvazikristala. Inače, takvi kristali su smatrani nemogucima jer zahtjevaju rotacijsku simetriju tipa 5 koja nije bila moguća iz rjesenja bla bla vise o tome kada budes učio fiziku čvrstom stanja, ali fora je u tome da doticnom nobelovcu nitko nije vjerovao kada je isao publicirati otkriće. Godinama i godinama.

    Sto se beskonacnostj tiče, o njima se moze napisati beskonacno teksta i uvijek plus jedan, kao u Hilbertovom hotelu.

    Aiii, ovo je zanimljiva tema i sad bi se raspisao ali zivcira me tipkati preko mobitela, a laptop mi je otudjen kao kakav lik iz Camusovog romana..

  2. Povratni ping: Nemogućnosti jedina | izmedju

Ostavite odgovor

Popunite detalje ispod ili pritisnite na ikonicu da biste se prijavili:

WordPress.com logo

Komentarišet koristeći svoj WordPress.com nalog. Odjavite se / Promeni )

Slika na Tviteru

Komentarišet koristeći svoj Twitter nalog. Odjavite se / Promeni )

Fejsbukova fotografija

Komentarišet koristeći svoj Facebook nalog. Odjavite se / Promeni )

Google+ photo

Komentarišet koristeći svoj Google+ nalog. Odjavite se / Promeni )

Povezivanje sa %s